Μαθηματικά Προσανατολισμού

Αυτό το κείμενο μπήκε αυτούσιο στο prompt και των έξι μοντέλων, στη θέση του φύλλου θεμάτων. Δημοσιεύεται χωρίς καμία επεξεργασία, για να μπορεί να αντιπαραβληθεί γραμμή προς γραμμή με τις σελίδες που ακολουθούν. Προηγείται ένα υπόμνημα συμβολισμού: εξηγεί πώς γράφονται σε κείμενο οι δείκτες, οι εκθέτες και το τυπολόγιο — τη γραφή, όχι τη λύση.

<!-- ΥΠΟΜΝΗΜΑ:ΑΡΧΗ -->
## Υπόμνημα συμβολισμού

Πριν από τα θέματα, πώς διαβάζονται τα σύμβολα αυτού του φύλλου. Δεν περιέχει καμία πληροφορία για τη λύση.

- Το κείμενο είναι μεταγραφή του έντυπου φύλλου θεμάτων. Όπου το πρωτότυπο είχε
  στοίχιση, πλαίσια ή έμφαση, εδώ υπάρχει markdown ή HTML: `<br>` σημαίνει αλλαγή γραμμής,
  `<u>…</u>` υπογράμμιση, `<sup>…</sup>` εκθέτη, `<sub>…</sub>` δείκτη. Είναι μορφοποίηση,
  δεν είναι μέρος της εκφώνησης.
- Οι δείκτες γράφονται άλλοτε με Unicode (Ε₁), άλλοτε με HTML (Μ<sub>Α</sub>), άλλοτε με
  κάτω παύλα (V_ισ.). Και οι τρεις μορφές σημαίνουν το ίδιο πράγμα: δείκτης.
<!-- ΥΠΟΜΝΗΜΑ:ΤΕΛΟΣ -->

<!-- Μεταγραφή από τα επίσημα θέματα. Πηγή: pages/page-*.png -->

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2026
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

## ΘΕΜΑ Α

**Α1.** Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Αν

- η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και
- $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$,

να αποδείξετε ότι η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\Delta$.

**Μονάδες 6**

**Α2.** Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.

**Μονάδες 5**

**Α3.** Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο $\Delta$;

**Μονάδες 4**

**Α4.** *Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη* **Σωστό**, *αν η πρόταση είναι σωστή, ή* **Λάθος**, *αν η πρόταση είναι λανθασμένη.*

**α)** Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι "1-1", αν και μόνο αν υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη.

**β)** Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

**γ)** Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$. Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta$.

**δ)** Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f\circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει

$$(f\circ g)'(x_0)=f'\big(g(x_0)\big)\cdot g'(x_0)\ .$$

**ε)** Η συνάρτηση $f(x)=\sigma\varphi x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}-\{x\,|\,\eta\mu x=0\}$ και ισχύει $(\sigma\varphi x)'=\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$ .

**Μονάδες 10**

## ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι συναρτήσεις

$$f:(1,+\infty)\to\mathbb{R},\ \text{με τύπο}\ f(x)=2\ln(x-1)$$

και

$$g:[2,+\infty)\to\mathbb{R},\ \text{με τύπο}\ g(x)=\sqrt{x-2}+1\ .$$

**Β1.** Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$.

**Μονάδες 8**

Στα επόμενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι $h(x)=\ln(x-2)$, $x\in(2,+\infty)$.

**Β2.** Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h^{-1}$ (μονάδες 6).

**Μονάδες 9**

**Β3.** Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 2}\left(h(x)\cdot\dfrac{f(x)}{x-2}\right)$.

**Μονάδες 8**

## ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο

$$f(x)=\frac{\kappa x^3+\mu x}{x^2+1}$$

με $\kappa,\mu\in\mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

- Η $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .
- Η ευθεία $y=x$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στην αρχή των αξόνων.

**Γ1.** Να αποδείξετε ότι:

**i)** $\kappa=0$ και

**ii)** $\mu=1$.

**Μονάδες 8**

**Γ2.** **i)** Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (μονάδες 6).

**ii)** Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ (μονάδες 3) και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\dfrac{1}{2}+\alpha^2$, για κάθε τιμή της παραμέτρου $\alpha\in\mathbb{R}$ (μονάδες 2).

**Μονάδες 11**

**Γ3.** Για $\nu\in\mathbb{N}$ ορίζουμε $I_\nu=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{2\nu+1}}{x^2+1}\,dx$.

**i)** Να αποδείξετε ότι $I_\nu+I_{\nu+1}=\dfrac{1}{2\nu+2}$ , $\nu\in\mathbb{N}$.

**ii)** Να υπολογίσετε τα $I_0$, $I_1$ και $I_2$.

**Μονάδες 6**

## ΘΕΜΑ Δ

Έστω συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύουν:

- $0<g(x)<1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$,
- $g'(x)\neq -1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

**Δ1.** Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in(-1,0)$ ώστε:

$$g(x_1)+x_1=0\,.$$

**Μονάδες 6**

Δίνεται επιπλέον η παραγωγίσιμη συνάρτηση

$$f(x)=\begin{cases}x^2\big(g(x)+x\big)\ ,\ & x\in(-\infty,\,0)\\[2mm] 2\eta\mu x+\varepsilon\varphi x-\kappa x\ ,\ & x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\end{cases}$$

με $\kappa\in\mathbb{R}$ .

**Δ2.** Να αποδείξετε ότι $\kappa=3$.

**Μονάδες 2**

**Δ3.** Να αποδείξετε ότι στο διάστημα $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ισχύουν:

**i)** $f(x)\ge 0$ και  (μονάδες 4)

**ii)** η εξίσωση $3f(x)=\pi$ έχει ακριβώς μια ρίζα, $x_2$.  (μονάδες 3)

**Μονάδες 7**

**Δ4.** **i)** Να αποδείξετε ότι $f(x)\ge 0$ στο διάστημα $\left[x_1,\,0\right]$.  (μονάδες 3)

**ii)** Έστω $\Omega$ το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x=x_1$ και $x=f(x_2)$, όπου $x_1$ είναι ο αριθμός από το ερώτημα Δ1 και $x_2$ είναι η ρίζα από το ερώτημα Δ3ii. Αν ο άξονας $y'y$ χωρίζει το $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία, να αποδείξετε ότι:

$$\int_{x_1}^{0}x^3 g'(x)\,dx=\frac{x_1^4}{4}+\frac{\pi^2}{2}-3\ln 2-3\,.$$

(μονάδες 7)

**Μονάδες 10**

Λήψη του αρχείου · sha256: 35c4e2c32286e35134d4d3cd43a9813e361110cef426df152829490263278966