## Υπόμνημα συμβολισμού
Πριν από τα θέματα, πώς διαβάζονται τα σύμβολα αυτού του φύλλου. Δεν περιέχει καμία πληροφορία για τη λύση.
- Το κείμενο είναι μεταγραφή του έντυπου φύλλου θεμάτων. Όπου το πρωτότυπο είχε
στοίχιση, πλαίσια ή έμφαση, εδώ υπάρχει markdown ή HTML: `
` σημαίνει αλλαγή γραμμής,
`…` υπογράμμιση, `…` εκθέτη, `…` δείκτη. Είναι μορφοποίηση,
δεν είναι μέρος της εκφώνησης.
- Οι δείκτες γράφονται άλλοτε με Unicode (Ε₁), άλλοτε με HTML (ΜΑ), άλλοτε με
κάτω παύλα (V_ισ.). Και οι τρεις μορφές σημαίνουν το ίδιο πράγμα: δείκτης.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2026
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
## ΘΕΜΑ Α
**Α1.** Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Αν
- η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ και
- $f'(x)=0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$,
να αποδείξετε ότι η $f$ είναι σταθερή σε όλο το διάστημα $\Delta$.
**Μονάδες 6**
**Α2.** Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
**Μονάδες 5**
**Α3.** Έστω $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta$. Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της $f$ στο $\Delta$;
**Μονάδες 4**
**Α4.** *Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη* **Σωστό**, *αν η πρόταση είναι σωστή, ή* **Λάθος**, *αν η πρόταση είναι λανθασμένη.*
**α)** Μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι "1-1", αν και μόνο αν υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη.
**β)** Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
**γ)** Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$. Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$, τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta$.
**δ)** Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f\circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει
$$(f\circ g)'(x_0)=f'\big(g(x_0)\big)\cdot g'(x_0)\ .$$
**ε)** Η συνάρτηση $f(x)=\sigma\varphi x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}-\{x\,|\,\eta\mu x=0\}$ και ισχύει $(\sigma\varphi x)'=\dfrac{1}{\eta\mu^2 x}$ .
**Μονάδες 10**
## ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
$$f:(1,+\infty)\to\mathbb{R},\ \text{με τύπο}\ f(x)=2\ln(x-1)$$
και
$$g:[2,+\infty)\to\mathbb{R},\ \text{με τύπο}\ g(x)=\sqrt{x-2}+1\ .$$
**Β1.** Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h=f\circ g$.
**Μονάδες 8**
Στα επόμενα ερωτήματα να θεωρήσετε ότι $h(x)=\ln(x-2)$, $x\in(2,+\infty)$.
**Β2.** Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ αντιστρέφεται (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $h^{-1}$ (μονάδες 6).
**Μονάδες 9**
**Β3.** Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 2}\left(h(x)\cdot\dfrac{f(x)}{x-2}\right)$.
**Μονάδες 8**
## ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο
$$f(x)=\frac{\kappa x^3+\mu x}{x^2+1}$$
με $\kappa,\mu\in\mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:
- Η $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$ .
- Η ευθεία $y=x$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στην αρχή των αξόνων.
**Γ1.** Να αποδείξετε ότι:
**i)** $\kappa=0$ και
**ii)** $\mu=1$.
**Μονάδες 8**
**Γ2.** **i)** Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα (μονάδες 6).
**ii)** Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ (μονάδες 3) και να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\dfrac{1}{2}+\alpha^2$, για κάθε τιμή της παραμέτρου $\alpha\in\mathbb{R}$ (μονάδες 2).
**Μονάδες 11**
**Γ3.** Για $\nu\in\mathbb{N}$ ορίζουμε $I_\nu=\displaystyle\int_0^1\frac{x^{2\nu+1}}{x^2+1}\,dx$.
**i)** Να αποδείξετε ότι $I_\nu+I_{\nu+1}=\dfrac{1}{2\nu+2}$ , $\nu\in\mathbb{N}$.
**ii)** Να υπολογίσετε τα $I_0$, $I_1$ και $I_2$.
**Μονάδες 6**
## ΘΕΜΑ Δ
Έστω συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, για την οποία ισχύουν:
- $0