Mistral Large 3 · Μαθηματικά Προσανατολισμού

Τι απάντησε

Προσδιορισμός της συνάρτησης $h=f\circ g$:

Δίνονται: $$f(x)=2\ln (x-1),x\in (1,+\infty ),$$ $$g(x)=\sqrt{x-2}+1,x\in [2,+\infty ).$$

Η σύνθεση $h=f\circ g$ ορίζεται ως: $$h(x)=f(g(x))=f\left(\sqrt{x-2}+1\right).$$

Για να ορίσουμε την $f$ στο σημείο $g(x)$, πρέπει $g(x)\in (1,+\infty )$: $$\sqrt{x-2}+1>1⟹\sqrt{x-2}>0⟹x>2.$$ Άρα, το πεδίο ορισμού της $h$ είναι $(2,+\infty )$.

Υπολογίζουμε τον τύπο της $h$: $$h(x)=2\ln \left(\sqrt{x-2}+1-1\right)=2\ln \left(\sqrt{x-2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}\ln (x-2)=\ln (x-2).$$

Έτσι, $h(x)=\ln (x-2)$, $x\in (2,+\infty )$.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ½ Διατύπωση της συνθήκης ορισμού της σύνθεσης: το πεδίο ορισμού της f∘g αποτελείται από τα x του πεδίου ορισμού της g για τα οποία το g(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της f 1/2
2. ✓ Επίλυση του συστήματος των δύο συνθηκών (x στο [2, +∞) και g(x) > 1) και προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της h 3/3
3. ✓ Αντικατάσταση του g(x) στον τύπο της f 1/1
4. ✓ Αλγεβρική απλοποίηση της λογαριθμικής παράστασης έως τον τελικό τύπο της h 2/2

Τι απάντησε

Αντιστροφή της συνάρτησης $h$:

i) Απόδειξη ότι η $h$ αντιστρέφεται:

Η $h(x)=\ln (x-2)$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(2,+\infty )$, διότι η συνάρτηση $\ln x$ είναι γνησίως αύξουσα και η $x-2$ είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως, η $h$ είναι "1-1" και αντιστρέφεται.

ii) Προσδιορισμός της $h^{-1}$:

Έστω $y=h(x)=\ln (x-2)$. Λύνουμε ως προς $x$: $$y=\ln (x-2)⟹e^y=x-2⟹x=e^y+2.$$ Άρα, η αντίστροφη συνάρτηση είναι: $$h^{-1}(y)=e^y+2,y\in \mathbb{R}.$$

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✓ Τεκμηρίωση ότι η h είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, με οποιαδήποτε έγκυρη πορεία (μελέτη προσήμου της h' και γνήσια μονοτονία, ή απευθείας από τον ορισμό του 1-1) 2/2
2. ✓ Συμπέρασμα ότι η h αντιστρέφεται, με ρητή επίκληση του ότι είναι 1-1 1/1
3. ✓ Επίλυση της εξίσωσης h(x) = y ως προς x, με τη χρήση της ισοδυναμίας λογαρίθμου - εκθετικού 3/3
4. ✓ Καταγραφή του τύπου της αντίστροφης συνάρτησης 1/1
5. ½ Προσδιορισμός του πεδίου ορισμού της αντίστροφης ως συνόλου τιμών της h 1/2

Τι απάντησε

Υπολογισμός του ορίου: $$\underset{x\to 2}{\lim }\left(h(x)\cdot \frac{f(x)}{x-2}\right).$$

Αντικαθιστούμε τις $h(x)$ και $f(x)$: $$h(x)=\ln (x-2),f(x)=2\ln (x-1).$$ Έτσι, το όριο γίνεται: $$\underset{x\to 2}{\lim }\left(\ln (x-2)\cdot \frac{2\ln (x-1)}{x-2}\right).$$

Θέτουμε $u=x-2$, οπότε $x\to 2⟹u\to 0^{+}$. Το όριο γράφεται: $$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\left(\ln u\cdot \frac{2\ln (u+1)}{u}\right)=2\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\ln u}{u}\cdot \ln (u+1)\right).$$

Γνωρίζουμε ότι: $$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln u}{u}=-\infty ,\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\ln (u+1)=0.$$ Πρόκειται για απροσδιόριστη μορφή $-\infty \cdot 0$. Για να υπολογίσουμε το όριο, γράφουμε: $$2\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln u\cdot \ln (u+1)}{u}.$$

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα του L'Hôpital, παραγωγίζοντας αριθμητή και παρονομαστή: $$\text{Αριθμητηˊς: }\frac{d}{du}\left(\ln u\cdot \ln (u+1)\right)=\frac{1}{u}\ln (u+1)+\ln u\cdot \frac{1}{u+1},$$ $$\text{Παρονομαστηˊς: }\frac{d}{du}u=1.$$ Έτσι, το όριο γίνεται: $$2\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\ln (u+1)}{u}+\frac{\ln u}{u+1}\right).$$

Υπολογίζουμε τα επιμέρους όρια: $$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (u+1)}{u}=1,$$ $$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln u}{u+1}=-\infty .$$ Άρα, το όριο είναι: $$2(1-\infty )=-\infty .$$

Διόρθωση: Το παραπάνω δεν είναι σωστό. Ας ξαναδούμε το όριο με διαφορετικό τρόπο.

Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι $\ln (u+1)\approx u$ για $u\to 0$: $$\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\left(\ln u\cdot \frac{2u}{u}\right)=2\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\ln u=-\infty .$$

Άρα, το όριο είναι $-\infty$.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✗ Διάσπαση του ορίου σε παράγοντες και αναγνώριση ότι το όριο του πηλίκου f(x)/(x-2) οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 0/2
2. ½ Υπολογισμός του ορίου του f(x)/(x-2) με έγκυρη μέθοδο (κανόνας de l'Hospital με έλεγχο των προϋποθέσεών του, ή αναγνώρισή του ως ορισμού παραγώγου, ή αλλαγή μεταβλητής με το βασικό όριο ln(1+u)/u) 1/3
3. ✓ Υπολογισμός του ορίου της h στο 2, με τεκμηρίωση ότι η προσέγγιση γίνεται από τα δεξιά και ότι το όριο είναι -∞ 2/2
4. ✓ Σύνθεση των δύο επιμέρους ορίων και συμπέρασμα για το ζητούμενο όριο 1/1

Τι απάντησε

Απόδειξη ότι $\kappa =0$ και $\mu =1$:

Δίνεται η συνάρτηση: $$f(x)=\frac{\kappa x^3+\mu x}{x^2+1},\kappa ,\mu \in \mathbb{R}.$$

i) Απόδειξη ότι $\kappa =0$:

Η $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$, οπότε: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=L\in \mathbb{R}.$$ Υπολογίζουμε το όριο: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\kappa x^3+\mu x}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\kappa x+\frac{\mu }{x}}{1+\frac{1}{x^2}}.$$ Για να υπάρχει το όριο, πρέπει ο συντελεστής του $x$ στον αριθμητή να είναι μηδέν, δηλαδή $\kappa =0$. Τότε: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\mu x}{x^2+1}=0.$$

ii) Απόδειξη ότι $\mu =1$:

Η ευθεία $y=x$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στην αρχή των αξόνων, δηλαδή στο $x=0$. Αυτό σημαίνει ότι: $$f(0)=0\text{και}{f}^{\prime }(0)=1.$$

Υπολογίζουμε την $f(0)$: $$f(0)=\frac{\kappa \cdot 0^3+\mu \cdot 0}{0^2+1}=0,$$ που ισχύει για κάθε $\mu$.

Υπολογίζουμε την $f^{\prime }(x)$: $$f(x)=\frac{\mu x}{x^2+1},$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{\mu (x^2+1)-\mu x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{\mu (1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}.$$ Απαιτούμε $f^{\prime }(0)=1$: $$f^{\prime }(0)=\frac{\mu (1-0)}{(0+1{)}^2}=\mu =1.$$ Άρα, $\mu =1$.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✓ Μετάφραση της ύπαρξης οριζόντιας ασύμπτωτης στο +∞ σε συνθήκη ορίου: το όριο της f στο +∞ είναι πραγματικός αριθμός 2/2
2. ½ Υπολογισμός του ορίου της ρητής συνάρτησης για κ διάφορο του μηδενός, ανάδειξη της αντίφασης και συμπέρασμα κ = 0 1/2
3. ✓ Μετάφραση της εφαπτομένης y = x στην αρχή των αξόνων στις δύο συνθήκες f(0) = 0 και f'(0) = 1 2/2
4. ✓ Υπολογισμός της f'(x) με τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου και εύρεση του μ από τη συνθήκη f'(0) = 1 2/2

Τι απάντησε

Μελέτη της συνάρτησης $f$:

Με $\kappa =0$ και $\mu =1$, η $f$ γίνεται: $$f(x)=\frac{x}{x^2+1}.$$

i) Μονοτονία και ακρότατα:

Υπολογίζουμε την $f^{\prime }(x)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$$

Κρίσιμα σημεία όταν $f^{\prime }(x)=0$: $$1-x^2=0⟹x=\pm 1.$$

Μελετάμε το πρόσημο της $f^{\prime }(x)$:

• Για $x\in (-\infty ,-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ (φθίνουσα).
• Για $x\in (-1,1)$, $f^{\prime }(x)>0$ (αύξουσα).
• Για $x\in (1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ (φθίνουσα).

Ακρότατα:

• Τοπικό ελάχιστο στο $x=-1$, $f(-1)=-\frac{1}{2}$.
• Τοπικό μέγιστο στο $x=1$, $f(1)=\frac{1}{2}$.

ii) Σύνολο τιμών και ρίζες εξίσωσης:

Από τη μονοτονία και τα ακρότατα, το σύνολο τιμών της $f$ είναι: $$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right].$$

Η εξίσωση $f(x)=\frac{1}{2}+{\alpha }^2$ γράφεται: $$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}+{\alpha }^2.$$ Το μέγιστο της $f$ είναι $\frac{1}{2}$, οπότε: $$\frac{1}{2}+{\alpha }^2>\frac{1}{2}\text{για}\alpha \ne 0.$$ Άρα, η εξίσωση δεν έχει λύση για $\alpha \ne 0$.

Για $\alpha =0$, η εξίσωση γίνεται: $$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}⟹2x=x^2+1⟹x^2-2x+1=0⟹(x-1{)}^2=0⟹x=1.$$ Άρα, έχει ακριβώς μία ρίζα για $\alpha =0$.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✗ Προσδιορισμός των συνόλων τιμών στα επιμέρους διαστήματα μονοτονίας, με επίκληση της συνέχειας και της γνήσιας μονοτονίας και με υπολογισμό των ορίων στο -∞ και στο +∞ (ή, ισοδύναμα, απόδειξη των φραγμάτων -1/2 ≤ f(x) ≤ 1/2) 0/2
2. ✗ Ένωση/σύνθεση των επιμέρους αποτελεσμάτων και συμπέρασμα ότι το σύνολο τιμών είναι ακριβώς το [-1/2, 1/2], δηλαδή ότι κάθε τιμή του διαστήματος λαμβάνεται 0/1
3. ✓ Σύγκριση της παράστασης 1/2 + α² με το μέγιστο του συνόλου τιμών και διάκριση των περιπτώσεων α = 0 και α διάφορο του μηδενός 1/1
4. ✓ Καταγραφή του πλήθους των ριζών σε κάθε περίπτωση της παραμέτρου 1/1

Τι απάντησε

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων $I_{\nu }$:

i) Απόδειξη της σχέσης $I_{\nu }+I_{\nu +1}=\frac{1}{2\nu +2}$:

Ορίζουμε: $$I_{\nu }={\int }_0^1\frac{x^{2\nu +1}}{x^2+1}dx.$$

Υπολογίζουμε το $I_{\nu }+I_{\nu +1}$: $$I_{\nu }+I_{\nu +1}={\int }_0^1\frac{x^{2\nu +1}+x^{2\nu +3}}{x^2+1}dx={\int }_0^1\frac{x^{2\nu +1}(1+x^2)}{x^2+1}dx={\int }_0^1{x}^{2\nu +1}dx={\frac{x^{2\nu +2}}{2\nu +2}|}_0^1=\frac{1}{2\nu +2}.$$

ii) Υπολογισμός των $I_0,I_1,I_2$:

Για $\nu =0$: $$I_0={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx={\frac{1}{2}\ln (x^2+1)|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2.$$

Για $\nu =1$: $$I_1=\frac{1}{2\cdot 1+2}-I_0=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 2.$$

Για $\nu =2$: $$I_2=\frac{1}{2\cdot 2+2}-I_1=\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\ln 2\right)=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln 2=-\frac{1}{12}+\frac{1}{2}\ln 2.$$

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✓ Υπολογισμός του I0 με αναγνώριση του αριθμητή ως (πολλαπλασίου της) παραγώγου του παρονομαστή ή με αντικατάσταση 1/1
2. ✗ Εφαρμογή της αναδρομικής σχέσης του Γ3i για ν = 0 και υπολογισμός του I1 0/1
3. ✗ Εφαρμογή της αναδρομικής σχέσης για ν = 1 και υπολογισμός του I2 0/1

Τι απάντησε

Απόδειξη ύπαρξης μοναδικού $x_1\in (-1,0)$ με $g(x_1)+x_1=0$:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\varphi (x)=g(x)+x$, $x\in \mathbb{R}$.

Ισχύουν:

1. $\varphi (-1)=g(-1)-1$. Επειδή $0<g(-1)<1$, έχουμε $\varphi (-1)=g(-1)-1<0$.
2. $\varphi (0)=g(0)>0$.

Η $\varphi$ είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, οπότε από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_1\in (-1,0)$ τέτοιο ώστε $\varphi (x_1)=0$, δηλαδή $g(x_1)+x_1=0$.

Για τη μοναδικότητα, η $\varphi$ είναι γνησίως αύξουσα διότι: $${\varphi }^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+1>0\text{(αφουˊ }{g}^{\prime }(x)\ne -1\text{ και }{g}^{\prime }(x)>-1\text{)}.$$ Άρα, η $\varphi$ είναι "1-1" και το $x_1$ είναι μοναδικό.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✓ Θεώρηση κατάλληλης βοηθητικής συνάρτησης (π.χ. h(x) = g(x) + x) και τεκμηρίωση της συνέχειάς της στο [-1, 0] μέσω της παραγωγισιμότητας της g 1/1
2. ✓ Εύρεση των προσήμων της βοηθητικής συνάρτησης στα άκρα -1 και 0, με ρητή χρήση της υπόθεσης 0 < g(x) < 1 2/2
3. ✓ Επίκληση του θεωρήματος Bolzano και συμπέρασμα ύπαρξης x1 στο (-1, 0) με g(x1) + x1 = 0 1/1
4. ½ Τεκμηρίωση της μοναδικότητας του x1, με ρητή χρήση της υπόθεσης g'(x) διάφορη του -1 1/2

Τι απάντησε

Απόδειξη ότι $\kappa =3$:

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x=0$, οπότε πρέπει να ισχύει: $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x).$$

Υπολογίζουμε την $f^{\prime }(x)$ για $x<0$: $$f(x)=x^2(g(x)+x)⟹f^{\prime }(x)=2x(g(x)+x)+x^2(g^{\prime }(x)+1).$$ Για $x\to 0^{-}$: $$f^{\prime }(x)\to 0+0=0.$$

Υπολογίζουμε την $f^{\prime }(x)$ για $x>0$: $$f(x)=2\eta \mu x+\epsilon \phi x-\kappa x⟹f^{\prime }(x)=2\sigma \upsilon \nu x+\frac{1}{\sigma \upsilon {\nu }^{2}x}-\kappa .$$ Για $x\to 0^{+}$: $$f^{\prime }(x)\to 2\cdot 1+1-\kappa =3-\kappa .$$

Απαιτούμε ${\lim }_{x\to 0^{-}}{f}^{\prime }(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}{f}^{\prime }(x)$: $$0=3-\kappa ⟹\kappa =3.$$

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✗ Χρήση της παραγωγισιμότητας της f στο 0: ισότητα των πλευρικών παραγώγων, με υπολογισμό της αριστερής παραγώγου (και της τιμής f(0) = 0) 0/1
2. ✓ Υπολογισμός της δεξιάς παραγώγου και επίλυση της εξίσωσης που προκύπτει ως προς κ 1/1

Τι απάντησε

Μελέτη της $f$ στο $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$:

Με $\kappa =3$, η $f$ γίνεται: $$f(x)=2\eta \mu x+\epsilon \phi x-3x.$$

i) Απόδειξη ότι $f(x)\ge 0$:

Υπολογίζουμε την $f(0)$: $$f(0)=0+0-0=0.$$

Υπολογίζουμε την $f^{\prime }(x)$: $$f^{\prime }(x)=2\sigma \upsilon \nu x+\frac{1}{\sigma \upsilon {\nu }^{2}x}-3.$$ Για $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sigma \upsilon \nu x\in (0,1]$. Θέτουμε $t=\sigma \upsilon \nu x$, $t\in (0,1]$: $$f^{\prime }(x)=2t+\frac{1}{t^2}-3.$$ Μελετάμε τη συνάρτηση $\psi (t)=2t+\frac{1}{t^2}-3$: $${\psi }^{\prime }(t)=2-\frac{2}{t^3}=2\left(1-\frac{1}{t^3}\right).$$ Για $t\in (0,1)$, ${\psi }^{\prime }(t)<0$, και για $t=1$, ${\psi }^{\prime }(1)=0$. Άρα, η $\psi$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,1]$, με $\psi (1)=0$. Επομένως, $\psi (t)\ge 0$ για $t\in (0,1]$, δηλαδή $f^{\prime }(x)\ge 0$.

Άρα, η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, οπότε $f(x)\ge f(0)=0$.

ii) Απόδειξη ότι η εξίσωση $3f(x)=\pi$ έχει ακριβώς μία ρίζα:

Η εξίσωση γράφεται: $$3f(x)=\pi ⟹f(x)=\frac{\pi }{3}.$$ Η $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, με: $$f(0)=0,\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}{\lim }f(x)=+\infty .$$ Από το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών, υπάρχει μοναδικό $x_2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ τέτοιο ώστε $f(x_2)=\frac{\pi }{3}$.

---

Πώς βαθμολογήθηκε

1. ✓ Αναγωγή της εξίσωσης 3f(x) = π σε ισοδύναμη μορφή και υπολογισμός του ορίου της f καθώς το x τείνει στο π/2 από τα αριστερά 1/1
2. ✓ Προσδιορισμός του συνόλου τιμών της f στο [0, π/2) με επίκληση συνέχειας και γνήσιας μονοτονίας, και τεκμηρίωση ότι η ζητούμενη τιμή ανήκει σε αυτό, άρα υπάρχει ρίζα 1/1
3. ✗ Τεκμηρίωση της μοναδικότητας της ρίζας από τη γνήσια μονοτονία (1-1) της f 0/1